2009 数学　大問4　解説

随分と更新が遅れました。大問４の解説です。

ふむふむ、、

（１）バスが動き始めてから１０秒間だけのグラフを書け！
　なってことは無い問題ですｗ
　問題文にY=１/2?²　（ｙ=２分の１　?の２乗）
　２次関数のグラフは、座標を３点取りましょう！
　この問題であれば、原点（０，０）と（１０，５０）はすんなりいけそうです。
　残りは（４，８）か（６，１８）のどちらか。
　しかし、このグラフでは３点以上取れますので、取れるだけ取りましょう。

（２）バスが太郎君に追いつくのは、バスが発車してから何秒後ですか。
　太郎君は毎秒４ｍの速さで走っているので、グラフを書いてみよう。
　こういう大問は、（１）⇒（２）⇒（３）と前問の答えを利用すると御利益があります。
　というか、普通です。
　太郎君は、式で表すとY=４Ｘの直線ですから、両端を計算して座標を取ればＯＫ！
　いいですか、直線は両端だけですよ、、！！
　スタートは原点（０，０）、終点は?軸が１０秒までだから１０秒後を計算。
　１０秒後には４０ｍ進んでいるので（１０，４０）です。
　
　
　さて、どうですか？？
　グラグを見ても何となく８分後というのが解るかもしれない。
　時間が無い時は、それでもいいと思います。
　しかし、方程式で交点を求めることが王道なので、
　（交点は方程式の右辺を＝で結ぶ）
　
　Y=1/2X²　、Y=4X　
　
　1/2?²=４?　　両辺２倍して
　?²=８?　　　　８?を左辺に移項して
　?²-８?=０　　共通因数をくくりだして
　?（?-８）=０　これを解いて
　?=０，８
　?=０は出発前なので題意に反する
　よって、?=８
　答え　８秒後　
（３）花子さんがバスとすれ違うのは何秒後か。
　※花子さんんは、１３０ｍ離れた反対方向から毎秒２ｍの速さで走っている。
　※バスは、１０秒後からは毎秒１０ｍの速さで走っている。
　この問題のポイントは、
　?１０秒後にはバスの式が変わる　（Y=１０?）
　?このグラフには１０秒後以降の目盛りが無い　
　　（それ以降を作るとグラフから答えが出てしまう）
　　（２）の問題はこのパターンで８秒後と解けてしまう
　変域を制限することで、少しだけ難易度を上げたかったのか？
　　　

　さて、解き方ですが大きく２つあると思います。
　
　?グラフを作って求める
　　…これでも結果的に解けると思います。何故なら、答えが結果的に整数だからです。
　　　しかし、目盛りを定規などで正確に作らないといけません。
　　　そうしないと、グラフから求めることは困難です。
　　　　まして、答えが分数なんてことになると、、　　　王道の解き方ではありません。
　
　?直線の式の交点を求める
　　…今回の問題では王道の解き方です。
　　１０秒以降の直線の式は（１０，５０）から速さ１０ｍ＜傾き＞で進んでいきますので
　　Y=１０?＋ｂ　に（１０，５０）を代入
　　５０=１０✖１０＋ｂ
　　５０=１００＋ｂ　　これを解いて
　　　ｂ=-５０
　　よって、直線の式は、Y=１０?-５０　（但し?は１０以上）
　　花子さんの式は、進む方向が逆（出会い算）なのでグラフは右下がり
　　つまり傾きはマイナスです。切片は、花子さんのスタート地点が１３０ｍ先なので
　　１３０となります。
　　ということで、式はY=-２?＋１３０となります。
　　交点を求めてみます。（右辺を＝で結ぶ）
　　
　　１０?‐５０=-２?+１３０
　１０?+２?=１３０+５０
　　１２?=１８０
　　　　　　 ?=１５
　　　この?の値は?が１０以上であることを満たす
　　　よって、答え　１５秒後　
　　あれ、思っていたより簡単でしたね～
　ここで、受験生はどのようなミスをするのか考えてみた
　　ある程度、数学が得意な生徒であれば、花子さんの直線の式は直ぐに出せます。
　　
　　ここで、２次関数の式と花子さんの式で交点を求めてしまうのではないのだろうか？
　　
　　Y=1/2?²　と　Y=-２?+１３０　　　解いてみましょう
　
　　1/2?²=-２?+１３０　　両辺２倍して
　　　　 ?²=-４?+２６０　　移項して
　　?²+４?-２６０=０　　　因数分解して　　
　　おやっ、、因数分解出来ない、、（解の公式や平方完成すればＯＫですが）
　
　　そうなんです、ドツボにハマります。焦りますね～　(＠_＠;)
　　でも冷静に考えると、１０秒までの間で出会うことなど無いです
　　１０秒にバスは５０ｍ、花子さんは２０ｍしか進みませんから、無理でしょ
　　そういう冷静さがあるか？　　これって大事ですｗ
　　だから、グラフも敢えて１０秒までにしたんでしょうね。チョイ悪だｗ
　　
　　最後に、出会い算の解き方でいってみましょうか？
　　【バスの道のりを表す式】　※道のり=速さ×時間
　　
　　バスと花子さんが同時に出発してから出会うまでの時間を?と置く
　　
　　1/2×（１０）²＋１０（?-１０）
　　
　　1/2×（１０）²　は１０秒間で進んだ道のりです。これが５０ｍになることはＯＫですね
　　だってグラフからも明白です。
　　次に１０（?-１０）ですが、（　　）の前の１０が速さで（?-１０）が時間です。　
　　出会うまでの時間?から最初の１０秒間を引けば、残りの時間になります。
　　この（?-１０）が出るようであればスンナリいけそうです。
　　【花子さんの道のりを表す式】
　　これは単純です。速さは毎秒２ｍなので、２?です。
　　【解法】
　　双方の道のりの合計が、当初離れている１３０ｍになればＯＫです。
　　陸上のトラックを連想しましょう。
　　反対向きに２人が進みます。
　　２人の走った距離の合計がトラック１周分になった時に出会うことになります。
　　Ａさんが２００ｍ走って、Ｂさんが５ｍしか走っていないのに出会うことは出来ないでしょう？
　　そういうことです。
　　さて、計算してみましょう
　　
　　1/2×（１０）²＋１０（?-１０）　＋　２?　=１３０
　　　　　５０　　　+１０?-１００　　＋　２?　=１３０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２? =１３０-５０+１００
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２? =１８０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　? =１５　　　　　　答え　１５秒後
どうでしたか？
（１）（２）は頑張って解きましょう！　大丈夫ですｗ
（３）は正解率５０％程度だと思われます。
全校入試問題解説を見ていないので何と言えないが
（３）の解法はどうなっているのだろうか？
予想するに、?の直線の交点を求める方法だろう。
出合い算で解くのであれば、グラフの作成から意味を成さない。
でも、出会い算で解くと簡単なことは明白です。
一つの問題であっても、最低３つの解法を考えられるようにすること
常に心がけています。そうすることで、問題作成者の意図が見えてきます。
意図が見えると、そのレールに乗るだけです。
　　　　
と、長々と、、
次回は大問５の規則性です。
群馬県では珍しい出題傾向ですが、お隣りの栃木や埼玉では普通。
まして、全国の出題傾向を考えると普通に有り得た問題です。
規則性は練習すれば簡単に出来るようになります。コツも有ります。
お楽しみに！！　
　　
　　　　
　　　